续后汉书

一卷。清夏鸾翔(详见《洞方术图解》)撰。《致曲图解》是夏氏对圆锥曲线综合研究的成果。他首先介绍了西方按次数把代数曲线的分类：一次式为直线；二次式为圆、椭圆、抛物线和双曲线；三次式八十种曲线；四次式有五千多种曲线，五次以上“盖不可考矣”。然后他对二次曲线“溯其本源”：“备具于圆锥体上，故圆锥者二次曲线之母也”。他还讨论了截圆锥而得到各种二次曲线问题。穿过圆锥面上一点作一截断所有母线之截面，则得椭圆。若此截面与一母线平行，则截面的“大小径悬绝之极，无大小径可言，则所截面必为抛物线面。”在其另一侧，则所截面为双曲线面。因此他得到两个结论：“抛物线之面为椭圆之极”，“双曲线之面为椭圆之反。”这种二次曲线之间互相转化的观点是正确的。他又讨论了二次曲线之“心”：椭圆二心，抛物线“得一心，而不能得又一心”，因为“抛物线象无穷长线”，每一枝双曲线“亦只一心”，合为二心。此外，他还讨论了二次曲线的准线、有界与无界曲线、二次曲线的通径、切线、法线、次法线、渐近线及它们的基本性质，内容十分全面。值得指出的是在书中专有一节讨论双曲函数，他认为圆与等轴双曲线“体例俱宜相同”，故后者应有“八线”，于是他“更增正、余二法线”。夏鸾翔定义了双曲正弦、双曲余弦等八个双曲函数，又定义了正法线与余法线，在此基础上总结出十四条定理。他的定义有一些与现代定义不同。当代中算史家钱宝琮评论道：“夏鸾翔对圆锥曲线有很多自发的正确见解，但也有研究不透，说理含糊之处，他的《致曲图解》是一项瑕瑜互见的著作”。该书的版本有：《夏氏算书遗稿》本，现藏浙江图书馆、中科院自然科学史研究所；《古今算学丛书》本；《蛰云雷斋丛书》本；另有稿本一卷三册现藏上海图书馆。